Uma formulação matemática para otimização de estoques

Published: Jun 11, 2020 by Angelo

Motivado por um desafio interno na SLC Agrícola, resolvi pesquisar mais a fundo sobre otimização de estoques, especificamente em estratégias que diminuem desequilíbrios de oferta e demanda de um determinado item em várias localidades/armazéns. Acontece que este é um dos objetos de estudo da pesquisa operacional, que é uma área do conhecimento que busca aplicar soluções matemáticas e estatísticas à tomada de decisão em geral.

Estratégia

Podemos formular esse problema como sendo de programação linear, mais precisamente de fluxo de commodities, se tratarmos as quantidades planejadas e o estoque lógico, respectivamente, como demandas e ofertas de um determinado produto nas diferentes localidades. Como não há restrições de fluxo total de produtos entre as unidades, podemos resolver o problema separadamente para vários produtos que possam existir.

Definindo os seguintes vetores e matrizes:

\(f \in F = \{1,2,\dots,F,\textrm{resto}\}\): localidades

\(c_{f,g}\): custo da transação da localidade \(f\) para \(g\)

\(b_{f}\): oferta líquida do item na localidade \(f\) (pode ser negativa)

\(x_{f,g}\): fluxo do item da localidade \(f\) para \(g\) (as variáveis de decisão)

O objetivo do problema será minimizar o custo total das transferências entre localidades, atendendo os desequilíbrios entre oferta e demanda de itens da melhor maneira possível:

\[\min_{x_{f,g}} \sum_{f,g \in F} c_{f,g} x_{f,g} \\ \textrm{s.a.} \\ \begin{align} \sum_{f \neq g} (x_{f,g}-x_{g,f}) &\leq b_{f}~(1) \\ x_{f,g} &\geq 0~(2) \\ x_{\textrm{resto},f} &= 0~(3) \end{align}\]

O significado das restrições:

  1. O saldo das transações deve ser menor ou igual ao excesso de oferta do item na localidade \(f\);

  2. As transferências devem ser não-negativas;

  3. Não deve haver transferências do “resto” de/para outras localidades. O resto (ou sink) é uma localidade teórica que compensa o excesso de demanda/oferta total do sistema.

Representação gráfica

É possível representar as localidades e suas capacidades como grafos direcionados. Assim, o problema acima se torna um problema de fluxo ótimo entre os nós do grafo.

img

Se as localidades de interesse são apenas um subconjunto de uma rede com um grande número de localidades, é possível simplificar o problema criando uma sub-rede cujas ligações representam o caminho mais curto (ou custo mínimo) de deslocamento entre essas localidades.

Na prática

Desenvolvi um dashboard em Python que aplica estes conceitos em um cenário urbano, usando dados simulados. O código está no link:

Repositório no GitHub.

Python Optimization

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